JPhysA编辑优选：随机向量丛的动理学方程

文章介绍

De-yu Zhong（钟德钰） and Guang-Qian Wang（王光谦）

通讯作者：

• 钟德钰，清华大学水利系

研究背景：

动理学方程是描述物质或粒子系统在相空间中分布随时间变化的数学表达式，其中最著名的动理学方程包括玻尔兹曼方程（Boltzmann Equation）和福克-普朗克方程（Fokker-Planck Equation）等。动理学方程是连接微观粒子行为与宏观物理现象的桥梁，可以帮助我们理解物质状态、预测系统行为、优化系统设计，在物理、化学、力学甚至社会科学中都有广泛的应用。动理学方程的推导方法有Kramers和Moyal的矩展开，钟德钰等人提出的累积展开等。但目前的经典方程仍仅限于局部分析，不能处理全局随机性。本研究旨在推导一个适用于一般随机系统的动理学方程，通过引入一种基于随机系统状态转移路径系综的平均方法，该方程能够描述非马尔可夫过程的全局统计行为。

研究内容：

随机向量丛是将随机过程理论与向量丛理论相结合的数学结构。向量丛使得可以将向量空间中的随机行为扩展到整个流形上，从而有效地将局部随机行为转变为全局影响的随机模型。本研究首先定义一个在基础流形上的随机向量丛，流形中的每个点对应一个代表系统随机状态空间的纤维，该框架为理解随机过程提供了一个全新的几何视角。通过对集合平均的局部概率密度函数（PDF）进行累积展开来推导动理学方程。这个PDF不仅仅是状态的函数，而是状态转换轨迹的泛函。累积展开有助于捕捉固有于非马尔可夫过程的历史和全局依赖效应。在数学上，使用协变导数和其他几何的工具来处理向量丛结构，并通过涉及微分几何和随机微积分的相关步骤推导出动理学方程。具体推导过程详见原文。

除此之外，论文还讨论了如何从该动理学方程出发，推导出描述流体等复杂多相系统宏观行为的守恒方程，展示了该方程在实际物理问题中的应用潜力。鉴于推导出的动理学方程是无限阶的，论文进一步讨论了在实际应用中如何进行截断，以及截断对模型精度的影响。

该论文的结果为研究大尺度复杂系统的统计规律提供了新的理论工具和分析框架，对于深入理解这些系统的行为、提高预测准确性以及指导实际应用具有重要意义。

• 2023年影响因子：2.0  Citescore：4.1
• Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical（JPhysA）每年出版50期，针对运用数学结构来描述物理世界的基本过程，并探索这些结构的分析、计算和数值方法。期刊内容涵盖：统计物理；非平衡系统、计算方法和现代平衡理论；混沌和复杂系统；数学物理；量子力学和量子信息理论；场论和弦理论；流体和等离子体理论；生物模型等方面。文章类型包括原创性论文和综述，以及关注于热点研究的专题综述和特刊，提供及时、全面的纵览。