JPhysA编辑优选:随机游走覆盖时间极限分布的数学基础

14 9月 2024 gabriels
本篇研究来自北京大学北京国际数学研究中心和生物医学前沿创新中心葛颢课题组。本研究推广了数学家Belius在简单随机游走模型上的结果,严格证明了环面上有限范围对称随机游走模型的覆盖时间,在进行适当归一化后,其分布会收敛到著名的Gumbel分布。该结果为之前物理学家在数值模拟中观察到的这一具有普适性的现象奠定了坚实的数学基础,也对于普遍应用于各个领域的随机搜索方法的穷尽时间的极限行为给出了定量刻画。


文章介绍

Cover-time Gumbel fluctuations in finite-range, symmetric, irreducible random walks on torus

X Han(韩啸), Y Zhang(张原) and H Ge(葛颢)

通讯作者:

  • 葛颢,北京大学北京国际数学研究中心和生物医学前沿创新中心

 

研究背景:

随机搜索过程在物理学、化学和生物学,乃至机器学习和机器人等各个学科中都具有广泛的应用。随机游走是随机搜索过程的数学模型。覆盖时间,即一个随机游走首次访问所有节点所需的时间,是描述随机搜索过程的关键参数。2015年,有研究组在Nature Physics发文,通过数值模拟发现,在很多不同的随机游走模型中,覆盖时间,当进行适当的归一化后,其极限分布都是Gumbel分布,这就意味着研究首达时间的结果都可以被应用到研究覆盖时间上来。这项工作对于理论工作者也是一个很好的提示,也许这是一个研究覆盖时间理论性质的切入口。因此本研究希望通过严格的数学分析,深入探讨环面上有限范围对称随机游走的覆盖时间,试图证明其满足2015年这项数值模拟工作中发现的规律。

 

研究内容:

本研究利用严格的数学分析方法,研究了环面上有限范围对称随机游走的覆盖时间特性。数学家Belius在2013年严格证明了简单随机游走覆盖时间的这一极限性质,其证明中采用了数学家Sznitman在2009年建立的随机交织模型。其证明比较艰深复杂,涉及很多的细致估计,整个证明长达五十多页。我们在仔细研究了Belius的工作之后发现,其证明中的构造方法是可以在进行一定的改造后,推广到环面上有限范围对称随机游走模型上的;其证明中最关键的有关随机游走和随机交织模型的耦合结果,也是可以直接推广过去的。

从数学角度来看,我们的证明并没有什么特别创新的地方,很多改造也是这方面的数学专家比较容易想象得到的。但是从解释数值模拟中发现的这一现象的角度,我们的工作有其独特的价值,因为我们把环面上运动的各方面细节都研究得更深入,给出了关于覆盖时间Gumbel分布极限的一般结果,同时基本囊括了2015年的那篇文献里几乎全部数值实验,给这一普适现象提供了严格的数学基础。


作者介绍

 

葛颢  教授

北京大学

  • 葛颢,北京大学长聘教授、国家杰青获得者。长期从事随机过程和统计学在物理、化学以及生物上的应用,在Physical Review Letters、Cell、Journal of Chemical Physics、Journal of Statistical Physics等权威期刊发表论文60余篇。获2009年中国数学会钟家庆数学奖,入选2016年教育部青年长江学者名单。

期刊介绍

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

  • 2023年影响因子:2.0  Citescore:4.1
  • Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical(JPhysA)每年出版50期,针对运用数学结构来描述物理世界的基本过程,并探索这些结构的分析、计算和数值方法。期刊内容涵盖:统计物理;非平衡系统、计算方法和现代平衡理论;混沌和复杂系统;数学物理;量子力学和量子信息理论;场论和弦理论;流体和等离子体理论;生物模型等方面。文章类型包括原创性论文和综述,以及关注于热点研究的专题综述和特刊,提供及时、全面的纵览。